Axiomas De Peano

Axiomas de Peano

Los axiomas de Peano o postulados de Peano definen de manera exacta al conjunto de los números naturales. Fueron establecidos por Giuseppe Peano, matemático italiano en el siglo XIX.

¿Qué es un axioma?
Un axioma es una proposición que, por el grado de evidencia y de certeza que exhibe, es admitida sin demostración. En el terreno de la matemática, se llama axioma a un principio fundamental que no puede demostrarse pero que se utiliza para el desarrollo de una teoría.

Los axiomas de Peano o postulados de Peano son un sistema de axiomas de segundo orden para la aritmética ideados por el matemático Giuseppe Peano en el siglo XIX, para definir los números naturales. Estos axiomas se han utilizado prácticamente sin cambios en diversas investigaciones matemáticas, incluyendo cuestiones acerca de la consistencia y completitud de la aritmética y la teoría de números.

Los publicó en 1889, en un folleto de unas treinta páginas, intitulado Aritmetices principia, nova methodo exposita, que se traduce por Nuevo método de exposición de los principios de la aritmética. Da una lista de nueve axiomas, de los cuales cuatro versan sobre el uso del signo = . Los demás se conocen como "Axiomas de Peano". Los matemáticos los consideran como la plataforma preliminar para forjar los siguientes conjuntos usuales de números. La idea pivotal de Peano fue la de "sucesor".

Los Axiomas

Los cinco axiomas o postulados de Peano son los siguientes:

  • El 1 es un número natural, entonces 1 está en el conjunto N de los números naturales.
  • Todo número natural n tiene un sucesor n*. (Este axioma es usado para definir posteriormente la suma).
  • El 1 no es el sucesor de ningún elemento natural.
  • Si hay dos números n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.
  • Si el 1 pertenece a un conjunto de números naturales, y dado un elemento cualquiera, el sucesor también pertenece al conjunto, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto.

(Este último axioma es el principio de inducción matemática)

Presentación formal

Los símbolos que designan los concepto primitivo son

(1)
\begin{equation} N, 1, x' \end{equation}
El símbolo N designa un predicado monádico que se lee «ser un número natural». El símbolo 1, por su parte, designa una constante que pretende representar al número uno. Y el símbolo x' finalmente, designa una función sobre x que devuelve el sucesor de x. A esta función muchas veces se escribe S(x). Finalmente, la metavariable 72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4 representa una fórmula cualquiera de la aritmética, y 72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4(x) representa una fórmula cualquiera que tenga a x como variable libre.

Los cinco axiomas de Peano son;

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02e8f6a26d3cf429a067f9c569dcc81b4ef02f64
186c120f79d9f9ddf975e7e56d2bf7d815390785
6c104aae412a2cfd6a457c25e23ba1bcff58fcfe

Del quinto axioma existen dos variantes. El primero está formulado en lógica de primer orden, y es en realidad un esquema de axioma. El segundo si es un axioma, pero está formulado en lógica de segundo orden.

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658f84bc671aca81a3abe74897824447f57a3079

Aritmética de Peano

Además de los cinco axiomas, la aritmética de Peano recurre a dos definiciones (de la suma y de la multiplicación), que a veces se presentan como axiomas. A continuación se incluyen todas las variantes:

  • Definiciones de suma y multiplicación
(2)
\begin{align} D_{1}:\begin{cases} n+0=n'\\ n+m'=(n+m)' \end{cases} \end{align}
(3)
\begin{align} D_{2}:\begin{cases} n\times0=0\\ n\times m'=(n\times m)+n \end{cases} \end{align}
  • Axiomas de la suma y de la multiplicación
(4)
\begin{align} A_{6}:\begin{cases} \forall n(n+0=n)\\ \forall n\forall m(n+m'=(n+m)') \end{cases} \end{align}
(5)
\begin{align} A_{7}:\begin{cases} \forall n(n\times0=0)\\ \forall n\forall m(n\times m'=(n\times m)+n) \end{cases} \end{align}

Las fuentes de donde se extrajo la información son: Pérez Porto, J. & Merino, M.. (2016). Definición de Axioma. 2017, de Definición.DE Sitio web: https://definicion.de/axioma/Axiomas de Peano. (2020, 12 de julio). y Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: 02:43, noviembre 27, 2020 desde https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Axiomas_de_Peano&oldid=127668712.

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